Stærðfræði er handverk

sem maður verður að læra sagði Dr. Unverhau við okkur tossana 5 sem söfnuðumst í kring um eldhúsborðið hjá honum í Stuttgart sumarið 1959.

Við áttum að sameiginlegt að ætla að taka fyrrihlutapróf í verkfræði inann fárra vikna. Við vissum að við kunnum ekki neitt af kennilegri æðri stærðfræði sem hafði verið kennd í fyrirlestrunum og værum því vonlausir að ná prófi.

Dr. Unverhau var á öðru máli. Hann tók fjóra kalkipappíra og fimm hvít blöð og lagði saman. Maður lærir hvernig á að reikna dæmi og hvernig maður á að skrifa þau sagði hann svo.

Svo byrjaði hann á sinx/x, ég man það enn.  Það gerum  við svona sagði hann og og svo reiknaði hann og skrifaði dæmið á blaðið. Nú gerið þið samskonar dæmi í öðrum búningi og geri eins og ég gerði. Þið þurfið ekkert að skilja neitt, bara gera eins og ég.

Svo komu Fourier-raðir, Integröl og allt hvað eina. Heimadæmi annan hvorn dag en eldhúsið hinn. Þið munuð skilja þetta seinna sagði hann dr. Unverhau. Og viti menn, skilningurinn kom smám saman.Við eldhússtrákarnir fórum allir í gegn meðan aðrir betri menn lágu.

Því dettur mér þetta í hug þegar ég sé að ástæðan fyrir lélegum árangri í stærðfræði er rakin til skorts á háskólamenntun stærðfræðikennara. Ég rifja upp árin mín Menntaskólanum. Ég var lélegur í ólesinni stærðfræði. Núna veit ég að það var af því að ég kunni hvorki að skrifa né reikna. Og svo var ég ekki æfður í að reikna dæmi. Það var allt kapp lagt á útleiðslur og kenningar en ég fékk enga þjálfun í að reikna og skrifa. Það fór því allt í krabb og vitleysu hjá mér. Þú ert klaufi Halldór sagði Björn Bjarnason við mig eftir eitt prófið. Betri greinng á mér hefur aldrei verið gerð.  Dr Unverhau breytti þessu  öllu tveimur árum síðar.

Ég fullyrði að lélegur árangur í stærðfræði hjá nemendum er ekki menntun kennaranna að kenna heldur því að það er byrjað á vitlausum enda. Menn verða fyrst að læra að lesa. Svo að læra að skrifa, svo að læra að reikna dæmi og skrifa þau, aftur og aftur þangað til maður kann það. Það eru ekki svo mörg afbrigði til af sama dæminu. Svo kemur skilningurinn smám saman. 

Hvernig væri að hugsa námið upp á nýtt?

Skólastærðfræði er nefnilega handverk en ekki vísindi.

Athugasemdir

[Ómar Ragnarsson, 3.7.2014 kl. 14:31]

Flott færsla hjá þér. Ég álpaðist í stærðfræðideild af því ég vissi ekki að síðustu tvö árin í skólanum myndi ég ekki hafa neinn tíma til að sinna náminu. Stærðfræðin er eins og keðja, þar sem enginn hlekkur má bresta og ekki má missa þráðinn.

Það er auðveldara að komast í gegnum málanám hvað orðaforðann snertir; - gerir minna til þótt orð vanti hér og þar.

Ég hef ítrekað orðið var við hve mikið skortir á einfaldan hugarreiknings- og stærðfræðiskilning sem hægt er að kenna á furðu litlum tíma.

[Alfreð K, 3.7.2014 kl. 14:49]

Það bætir ekki úr skák þegar grunnskólanemendur þurfa nú ekki lengur einu sinni að kunna margföldunartöfluna. Þetta skilst mér að sé núna raunin í íslenskum grunnskólum, eða a.m.k. í Rvík, það sagði mér móðir drengs þar fyrir örfáum árum.

[Halldór Jónsson, 3.7.2014 kl. 15:18]

Takk fyrir þetta Ómar. Hugarreikningur er alveg forboðinn í íslenskum skólum. Og margföldunartaflan líka Alfreð K.

Sonardóttir mín er í síðasta bekk grunnskóla.Ég spurði hana út í margföldunartöfluna. Iss sagði hún, ég er með reiknivél. Já, en elskan mín, ef þú ert nú úti í móa pg þarft að reikna 8 x 7 og ert ekki með reiknivélina. Iss, gerir ekkert til sagði hún geislandi, ég er með símann minn.

þegar við vorum í verkfræðinni í gamla daga notuðum við reiknistokk. Þá fékk maður tilfinningu fyrir stærðum, hvort það ættu að vera 3.6 cm2 af járni í bitanum því að maður vissi að það gat ekki verið 36 cm2 og ekki 0,36 cm2. Tilkoma reikninvélanna veldur því að svör geta verið af ýmsu tagi, 3.6789 cm2, 36,789cm2 eða 0,36789cm2. Aukastafirnir klikka ekki hvað sem kommunni líður. Ég held að kennsla á reiknistokk væri góð hugarþjálfun í skólum. En hvað er maður að rövla svona, það hlustar enginn á gamla vitleysinga eins og mig.

Það er rátt Alfreð, að þú finnur varla útskrifaðan grunnskólanema sem kann töfluna. Ég prófa stundum á þýskum börnum sem ég hitti hvort au viti hvað 7x9 séu. Allt annað. Líkega eru það kvenkyns reikningskennarar sem eru ástæðan. Þær kenndu aldrei reikning í den, það virtist ekki liggja fyrir þeim þá.

[Kári S. Lárusson (IP-tala skráð) 3.7.2014 kl. 16:13]

Þetta er góður pistill og umhugsunarverður Halldór. Ég velti þó kenningunni um kvenkyns reikningskennarana fyrir mér. Man eftir því að í grunnskólanum á Skagaströnd í gamla daga kom stundum fyrir að karlkyns kennarar gátu ekki leyst sum dæmin í kennslubókinni. Þeir gripu þá gjarnan til þess ráðs að gera því skóna að niðurstaðan væri röng í Svörunum sem fylgdu kennslubókinni. En oftast var nú þrautalendingin að fara með dæmið til Elinborgar heitinnar Jónsdóttur sem kenndi lengi við skólann og aldrei man ég til þess að það brygðist að hún leysti dæmið fljótt og vel. Þannig að ekki hefur það nú verið algilt í den tid að konur gætu ekki reiknað.

[Halldór Jónsson, 3.7.2014 kl. 18:51]

Já Kári,

ég er nú ekkert harður á þessu. Auðvitað geta konur lært að reikna eins og aðrir hjá réttum kennara. Dr, Unverhau hefði getað kennt nær öllum að reikna, hann var svo sérstaklega lúnkinn. Ég hafði aldrei kvenkyns reiknikennara frá Ísaksskóla og uppúr.

Sumir hafa þetta að geta kennt öðrum. Sumir hafa það bara ekki.

R.Demmig heitinn í Darmstadt var annað séní í kennslu. Gaf út klassískar bækur sem voru handskrifaðar með tússi og ljósritaðar um alla háskólapensúmið í verkfræðinni, dýnamík punkta og massa, stærðfræði,trígónmetríu plan og sveríska,. Ég átti allt safnið og við lásum þetta strákarnir okkur til gagns þegar erfitt var að skilja prófessorana. Ég hfef oft hugsað að ef þessar bækur hefðu verið á ensku þá hefðu þær náð útbreiðslu. Þær voru svona líkar Schaums Outlines

Prófessor Tölke var annað séní sem kenndi mér. Hann hafði held ég átta doktorstitla. Hann er ógleymanlegur því hann gaf sér tíma til að ræða við okkur um hvernig lífið myndi verða hjá okkur sem verkfræðingar og byggði á sinni reynslu sem var gríðarleg. Leonhardt var annar.

Hvernig verða menn kennarar af Guðs náð? Ég veit það ekki. Sumir bara hafa það aðrir ekki. Gylfi Þ. Gíslason var einn slíkur sem hafði það, einn sá besti sem ég nokkru sinni hafði. Jæja, þetta er orðinn útúrdúr hjá mér allt saman.

[Bjarni Jónsson, 3.7.2014 kl. 21:26]

Við reiknistokksmenn og notendur Erlangs Fircifrede Logarithmer megum muna tímana tvenna.  Það er þó víst, að þeir, sem ekki tileinka sér litlu margföldunartöfluna, verða eins og fiskar á þurru landi allt sitt líf, hvað sem reiknivélum og símum líður. 

Þú nefnir mikilvægi skapandi kennara.  Víst er um það.  Einn íslenzkan slíkan, Björn Bjarnason, stærðfræðikennara, nafngreinir þú.  Hann kenndi mér í 6. bekk MR og aftur á fyrsta ári verkfræðinnar í HÍ.  Hrífandi persónuleiki með einstakt lag á að ná til ólíkra nemenda, karlkyns og kvenkyns. 

Slíkir menn hjálpuðu mörgum við val á framhaldsnámi.  En reiknistokkurinn, hann var sannkallaður töfrasproti, sem hreif unglinginn.  Og Schaum, hann gaf iðnum nemanda góða æfingu við lausn alls konar dæma. 

Þú hefur kveikt upp fortíðarþrá.

[Örn Johnson, 3.7.2014 kl. 22:21]

Ég man hinn frábæra Björn Bjarnason vel. Gaman að rifja upp þennan tíma, takk Halldór.

[Hörður Halldórsson, 3.7.2014 kl. 23:22]

• 7+7/7+7x7-7 hægt að flaska á þessu ef handavinnan er röng.

•      7 + 1 + 49 - 7 = 8 + 49 - 7 = 57 - 7 = 50

[Halldór Jónsson, 4.7.2014 kl. 00:23]

Takk fyrir Bjarni , tek undir hvert orð um hann Björn Bjarnason. En þetta með fortíðarþrána tek ég ekki undir. Það er allt orðið svo miklu auðveldara núna en það var með öllum þeim hjálpartækjum sem í boði eru. En þau eru samt ekki barna meðfæri frekar en hnífar og skæri.

Hörður halldórsson, þetta er hluti af því sem er til umræðu að vinna skipulega.

[Halldór Jónsson, 4.7.2014 kl. 00:24]

Já Ómar,

Það er gríðarlega gaman að læra mál og apa framburð til dæmis sænsku og dönsku. Það er listgrein sem þú kannt manna best.

[Halldór Jónsson, 4.7.2014 kl. 00:29]

Já og Ómar

Ég man að þýsk vinnukona heima hjá mér gat margfaldað saman margrastafa tölur í huganum. Sagði að þetta hefði verið kennt í þýskum skólum. Af hverju má ekkert leggja á sig lengur? Ekki læra kristnifræði þó að maður trúi ekki sögunum? "Also, er setzte sich an einem Tisch und nahm die Speisekarte.." eins og stendur í frægri bók sagði Gúðmundsen í frægri ræðu sinni í Brekkukotsannáli. Maður hefur bara gott af að læra utanbókar og man það oft lengi

[Ágúst H Bjarnason, 4.7.2014 kl. 09:23]

Þegar við höfðum ekki annað en reiknistokkinn og Erlangs Fircifrede Logarithmer sem Bjarni minnist á, þá þurftum við bæði að skilja verkefnið sem við vorum að fást við og kunna að reikna svona því sem næst í huganum. Við urðum að hafa tilfinningu fyrir viðfangsefninu.
Reiknistokkurinn hélt nefnilega ekki utan um núllin. Þetta átti kannski sérstaklega við um okkur rafmagnsmenn sem þurfum að reikna með agnarsmáum og ofurstórum tölum, frá píco (0,000.000.000.001)) og upp í tera (1.000.000.000.000) að minnsta kosti.

Með því að nota veldisvísa er nokkuð auðvelt að reikna í huganum  yfir svona stórt talnasvið og til dæmis margfalda saman picofarad og gigaohm til að finna tímastuðul.  Þegar menn fóru að nota reiknivélar í stað reiknistokks töpuðu menn þessari leikni. Urðu bara hálf skilningslausir takkastjórar :-)  

Öðlingurinn Björn Bjarnason kenndi mér stærðfræði í háskóla, en einnig Guðmundur Arnlaugsson og Halldór Elíasson. Halldór kenndi mér einnig í menntaskóla ásamt Halldóri Guðjónssyni, og svo auðvitað Sigurbjörn Guðmundsson sem var þá verkfræðingur hjá Sigurði Thoroddsen (nú Verkís). 

[Halldór Jónsson, 4.7.2014 kl. 11:51]

Sæll frændi og takk fyrir síðast. Það var aldeilis gaman að sjá í gullastokkinn hjá þér. Ég verð að koma aftur.

Já, ég held að reinistokkurinn og hugarreikningurinn sem leiddi af Erlangs fircifrede hafi verið eitthvað sem við vildum ekki hafa misst af. Ég átti líoka blikkspjald með stálsíl til að leggja saman á, bara þrælgott. Svo lærði maður aðferð til að nota handsnúnar margföldunar og deilivélar eins og voru notaðar til að leysa matrixur, snúa fram og aftur við statísk óakveðin dæmi. Býsna framandi fyrir ungt fólk að heyra.

Eldri höfðingjana sem þú nefnir, þá Guðmund Arnlaugs og Björn þekkti ég líka sem kennara og þeir eru manni ógleymanlegir. Guðmundur sýndi manni fyrstu dæmin +i eðlisfræði þar sem maður sá að það var hægt að nota calculus á hagnýtan hátt sem fram að því maður hafði ekki haft hugmynd um til hver væri. Hann gerði kennsluna svo lifandi. Alveg einstakur maður.